尘封80年的函数成了联系数论代数和弦理论的关键

  次阅读 作者:智能小宝 来源:互联网 2016-09-24 18:24 我要评论(0)

通过神秘的“魔群月光猜想”,研究者正努力探究数论、代数和弦理论之间不可思议的联系。

1978年,数学家约翰·麦凯(John McKay)注意到了某些像是奇怪巧合般的现象。当时,他正在研究一类神秘难解的单群,并试图探究其结构的不同表达式——这类散在单群有着所有已知散在单群中最大的阶数,数学家们称它为“魔群”(Monster Group),他相信“魔群”中隐藏着一些新的对称规律。不过,那时的数学家们并不能确定“魔群”是否真实存在,但是他们知道,如果真能找到符合条件的“魔群”,它们一定有着特定的阶数,最小的阶数是1,随后是196883。

麦凯当时正在加拿大蒙特利尔的康考迪亚大学,有一天他碰巧看到一篇有关完全不同领域的数学论文,论文中讨论的是数论中的基本对象之一——J函数。麦凯敏锐地注意到J函数的第一个重要系数是196884,他马上想到这是魔群前两位特殊阶数(1和196883)的数量之和。

不过对于这个发现,大多数数学家都认为只是偶然现象,毕竟魔群和J函数简直就是风马牛不相及的两个事物。但凡事总有例外——数学家约翰·汤普森(John Thompson)注意到了魔群和J函数之间奇妙的联系,并将这个发现又向前推进了一步。汤普森教授现在正在美国佛罗里达大学,他是1970年菲尔兹奖(Fields Medal)的获得者。汤普森教授发现了J函数的第二个系数:21493760,居然是魔群前三个特殊阶数的数值和:1 + 196883 + 21296876。到了这个地步,人们不禁怀疑,J函数在某种程度上可以“约束”捉摸不定的魔群结构。

菲尔兹奖,正式名称为国际杰出数学发现奖(The International Medals for Outstanding Discoveries in Mathematics),每四年评选2~4名有卓越贡献且年龄不超过40岁的数学家,被认为是年轻数学家的最高荣誉,和阿贝尔奖均被称为数学界的诺贝尔奖。

很快,另两名数学家又证实了许多类似的数学上的联系,这让数学家们意识到这些现象绝非单纯的巧合。1979年,在一篇名为《魔群月光》(Monstrous Moonshine)的论文里,约翰·康威(John Conway,现为普林斯顿大学数学教授)和西蒙·诺顿(Simon Norton,剑桥大学数学教授)一同推测,这些数学上的相关性,必定来自于魔群与J函数在更深层次上的联系。“他们将这个猜想命名为‘月光’,不是因为这个猜想富有浪漫色彩,而是指这个猜想是那么地可望而不可即。”德国马普数学研究所主任唐·扎吉尔(Don Zagier)这么说道,“在当时看来,这个猜想简直就是空谈和妄想,指望有人能证明它不过是一厢情愿罢了。”

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